题目内容
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．
（1）若A、B、C成等差数列，求B的值；
（2）若a、b、c成等比数列，求sinB+
cosB的取值范围．
（1）若A、B、C成等差数列，求B的值；
（2）若a、b、c成等比数列，求sinB+
| 3 |
分析：（1）由三角形的内角和定理与A、B、C成等差数列，求出B的值；
（2）由a，b，c成等比数列，得b2=ac，由余弦定理得出cosB，将b2=ac代入，利用基本不等式变形求出cosB的范围，从而得出B的取值范围；把所求的式子化为一个角的正弦函数，由B的范围求出它的取值范围．
（2）由a，b，c成等比数列，得b2=ac，由余弦定理得出cosB，将b2=ac代入，利用基本不等式变形求出cosB的范围，从而得出B的取值范围；把所求的式子化为一个角的正弦函数，由B的范围求出它的取值范围．
解答：解：（1）△ABC中，∵A、B、C成等差数列，
∴2B=A+C；
又A+B+C=π，
∴B=
，
即B的值是
；
（2）△ABC中，∵a、b、c成等比数列，
∴b2=ac，
又∵a2+c2≥2ac，
∴cosB=
≥
=
，
当且仅当a=c时取等号，
∴0＜B≤
，
又sinB+
cosB=2（
sinB+
cosB）=2sin（B+
），
∴B+
∈（
，
]，
∴
≤2sin（B+
）≤2，
∴sinB+
cosB的取值范围[
，2]．
∴2B=A+C；
又A+B+C=π，
∴B=
| π |
| 3 |
即B的值是
| π |
| 3 |
（2）△ABC中，∵a、b、c成等比数列，
∴b2=ac，
又∵a2+c2≥2ac，
∴cosB=
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
| 2ac-ac |
| ac |
| 1 |
| 2 |
当且仅当a=c时取等号，
∴0＜B≤
| π |
| 3 |
又sinB+
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
∴B+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∴
| 3 |
| π |
| 3 |
∴sinB+
| 3 |
| 3 |
点评：本题考查了等差与等比数列以及三角函数的综合应用问题，是易错题．
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