Question

已知f（x）=3-4^x+2xln2，数列{a_n} 满足：-

1

2

＜a₁＜0，21+an+1=f（a_n） （n∈N^*）
（1）求f（x）在[-

1

2

，0]上的最大值和最小值；
（2）用数学归纳法证明：-

1

2

＜a_n＜0；
（3）判断a_n与a_n+1（n∈N^*）的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求导函数，从而可得f（x）=3-4^x+2xln2在[-

1

2

，0]上是增函数，进而可求f（x）的最大值与最小值；
（2）当n=1时，由已知可知命题成立；假设当n=k时命题成立，即-

1

2

＜ak＜0成立，则当n=k+1时，由（1）得21+ak+1=f（a_k）∈(

5

2

-ln2，2)，故可得证．
（3）21+an+1-21+an=f(an)- 21+an，构造函数g（x）=f（x）-2^x+1，可证g（x）在[-

1

2

，0]上是减函数，从而可得21+an+1-21+an＞ 0，故得解．

解答：解：（1）f′（x）=（1-4^x）ln4…（1分）
当-

1

2

＜x＜0时，0＜1-4x＜

1

2

，∴f′（x）＞0
∴f（x）=3-4^x+2xln2在[-

1

2

，0]上是增函数，…（2分）
∴f（x）的最大值为：f（0）=2 …（3分）
f（x）的最小值为：f(-

1

2

)=

5

2

-ln2…（4分）
（2）①当n=1时，由已知可知命题成立；…（5分）
②假设当n=k时命题成立，即-

1

2

＜ak＜0成立，
则当n=k+1时，由（1）得21+ak+1=f（a_k）∈(

5

2

-ln2，2)
又

2

＜

5

2

-ln2＜21+ak+1＜2，
∴

1

2

＜1+ak+1＜1
∴-

1

2

＜ak+1＜0，
这就是说，当n=k+1时命题成立．…（7分）
由①，②可知，命题对于n∈N^*都成立．…（8分）
（3）21+an+1-21+an=f(an)- 21+an
记g（x）=f（x）-2^x+1，得g′（x）=f′（x）-2^x+1ln2=（1-2^x-4^x）ln4
当-

1

2

＜x＜0时，

2

2

＜2x＜1，

1

2

＜4x＜1
故1-2x-4x＜1-

2

2

-

1

2

＜0
所以g′（x）＜0，得g（x）在[-

1

2

，0]上是减函数，…（10分）
∴g（x）＞g（0）=f（0）-2=0
∴f(an)-21+an＞0
即21+an+1-21+an＞ 0
∴a_n+1＞a_n…（12分）

点评：本题以函数为载体，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查数学归纳法，同时考查构造法的运用，解题的关键是正确运用导数研究函数的单调性与最值．