Question

已知函数f(x)=

1-2x

2x+1

．
（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；
（2）当x∈（1，+∞）时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）的奇偶性；
（2）根据分式函数的单调性即可求出当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的值域．

解答：解：（1）∵函数的定义域为R，f(-x)=

1-2-x

2-x+1

=

2x-1

1+2x

=-

1-2x

1+2x

=-f(x)，
∴函数f（x）是奇函数．
（2）令t=2^x，∵x∈（1，+∞），∴t∈（2，+∞），
则函数f（x）等价为y=g（t）=

1-t

t+1

=-1+

2

t+1

，
∵t＞2，
∴t+1＞3，0＜

2

t+1

＜

2

3

，
∴-1＜g(t)＜-

1

3

，
故函数的值域为（-1，-

1

3

）．

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，以及函数值域的求法，利用换元法将函数转化分式函数，利用分式函数的单调性是解决本题的关键．