Question

如图，已知四棱锥S—ABCD的底面是边长为4的正方形,S在底面的射影O在正方形ABCD内,且O到AB,AD的距离分别为2和1.

(1)求证:·是定值;

(2)已知P是SC的中点,且SO=3,问在棱SA上是否存在一点Q,使异面直线OP与BQ所成的角为90°?若存在,请给出证明,并求出AQ的长;若不存在,请说明理由.

Answer 1

解：(1)在△SDC内，作SE⊥CD交CD于E，连结OE.

∵SO⊥平面ABCD,

∴SO⊥CD.

∴CD⊥平面SOE,

∴DE⊥OE.∴OE∥AD.

∴DE=1.从而CE=3.

·=·=||||cos∠SCD=||||=12,

∴·是定值.

(2)以O为坐标原点,以OS所在直线为Oz轴,以过O且平行于AD的直线为Ox轴,以过O且平行于AB的直线为Oy轴,建立空间直角坐标系.

则A(2,-1,0),B(2,3,0),C(-2,3,0),S(0,0,3),P(-1,,),

设点Q(x,y,z),则存在λ使=λ,

即（x-2,y+1,z）=λ(-2,1,3),

得即

令·=（-1，，）·（-2λ,λ-4,3λ）=8λ-6=0,得λ=.由0＜λ＜1知，点Q在棱SA上，且Q（，-，），||=||=.