Question

设是函数的一个极值点.

（1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；

（2）设，.若存在使得成立，求的取值范围.

Answer 1

解：（1）f `(x)＝－[x²＋(a－2)x＋b－a ]e^3－x,

由f `(3)=0，得 －[3²＋(a－2)3＋b－a ]e^3－3＝0，即得b＝－3－2a，------------2分

则 f `(x)＝[x²＋(a－2)x－3－2a－a ]e^3－x

＝－[x²＋(a－2)x－3－3a ]e^3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e^3－x.

令f `(x)＝0，得x₁＝3或x₂＝－a－1，由于x＝3是极值点，

所以，那么a≠－4.   当a<－4时，x₂>3＝x₁，则

在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；

在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；

在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.-----------------------4分

当a>－4时，x₂<3＝x₁，则

在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；

在区间（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；

在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.-------------------------------6分

（2）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min{f (0)，f (4) }，f (3)]，

而f (0)＝－（2a＋3）e³<0，f (4)＝（2a＋13）e^－1>0，f (3)＝a＋6，

那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e³，a＋6].--------------- -----8分

又在区间[0，4]上是增函数，

且它在区间[0，4]上的值域是[a²＋，（a²＋）e⁴]，-----------------10分

由于（a²＋）－（a＋6）＝a²－a＋＝（）²≥0，所以只须仅须

（a²＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0<a<.

故a的取值范围是（0，）.-----------------------------------------------12分