Question

已知函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）在x∈[-2，2]上恒有f（x）＜2，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：当a＞1时，根据函数f（x）在[-2，2]上单调递增，可得f（2）＜2，求得a的范围．当 0＜a＜1时，函数f（x）在[-2，2]上单调递减，可得f（-2）＜2，求得a的范围．再把以上求得的两个a的范围取并集，即得所求．

解答：解：当 a＞1时，函数f（x）=a^x 在x∈[-2，2]上单调递增，要使f（x）＜2，必须使函数的最大值f（2）＜2，
即 a²＜2，解得1＜a＜

2

．
当 0＜a＜1时，函数f（x）=a^x 在x∈[-2，2]上单调递减，要使f（x）＜2，必须使函数的最大值f（-2）＜2，
即 a^-2＜2，a²＞

1

2

，由此解得

2

2

＜a＜1．
综上可得，a的范围为（1，

2

）∪（

2

2

，1）．

点评：本题主要考查指数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．