Question

已知a＞0且a≠1，函数f（x）=a^x+x-4的零点为m，函数g（x）=1og_ax+x-4的零点为n，则

1

m

+

2

n

的最小值为（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  3

  2

• C、

  1+2 2

  4

• D、

  3+2 2

  4

Answer 1

分析：构建函数F（x）=a^x，G（x）=log_ax，h（x）=4-x，确定m+n=4，再利用“1”的代换，结合基本不等式，即可求得最小值．

解答：解：由题意，构建函数F（x）=a^x，G（x）=log_ax，h（x）=4-x，
则h（x）与F（x），G（x）的交点A，B的横坐标分别为m、n，
注意到F（x）=a^x，G（x）=log_ax，关于直线y=x对称，可以知道A，B关于y=x对称，
由于y=x与y=4-x交点的横坐标为2，
∴m+n=4，
∴

1

m

+

2

n

=

1

4

(

1

m

+

2

n

)(m+n)=

1

4

(3+

n

m

+

2m

n

)≥

1

4

(3+2

n m • 2m n

)=

1

4

(3+2

2

)，当且仅当

2

m=n时取等号，
故选D．

点评：本题考查函数的零点，考查函数的最值，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定m+n的值，利用“1”的代换是关键．