Question

已知函数f(x)=ln(2+3x)-

3

2

x2.
（1）求f（x）在[0，1]上的极值；
（2）若对任意x∈[

1

6

，

1

3

]，不等式|a-lnx|-ln[f′(x)+3x]＞0成立，求实数a的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）=-2x+b在[0，2]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

Answer 1

（1）f′(x)=

3

2+3x

-3x=

-3(x+1)(3x-1)

3x+2

，
令f′(x)=0得x=

1

3

或x=-1（舍去）
∴当0≤x＜

1

3

时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当

1

3

＜x≤1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．
∴f(

1

3

)=ln3-

1

6

为函数f(x)在[0，1]上的极大值；
（2）由|a-lnx|-ln[f′（x）+3x]＞0得
a＞lnx+ln3-ln（2+3x）或a＜lnx-ln3+ln（2+3x）
设，h（x）=lnx+ln3-ln（2+3x），g（x）=lnx-ln3+ln（2+3x）
依题意知a＞h(x)或a＜g(x)在x∈[

1

6

，

1

3

]上恒成立，
∵h/(x)=

2

x(2+3x)

＞0，g/(x)=

2+6x

2x+3x2

＞0，
∴g(x)与h(x)都在[

1

6

，

1

3

]上单增，要使不等式成立，
当且仅当a＞h(

1

3

)或a＜g(

1

6

)，即a＞ln

1

3

或a＜ln

5

36

；
（3）由f(x)=-2x+b?ln(2+3x)-

3

2

x2+2x-b=0.
令?(x)=ln(2+3x)-

3

2

x2+2x-b，则?′(x)=

3

2+3x

-3x+2=

7-9x2

2+3x

，
当x∈[0，

7

3

]时，?′(x)＞0，于是?(x)在[0，

7

3

]上递增；
当x∈[

7

3

，1]时，?′(x)＜0，于是?(x)在[

7

3

，2]上递减
而?(

7

3

)＞?(0)，?(

7

3

)＞?(2)，
∴f（x）=-2x+b即φ（x）=0在[0，1]恰有两个不同实根等价于

?(0)=ln2-b≤0 ?( 7 3 )=ln(2+ 7 )- 7 6 + 2 7 3 -b＞0 ?(2)=ln8-2-b≤0

∴ln2≤b≤ln(2+

7

)+

4 7 -7

6