Question

已知函数f(x)=sin

x

2

 ，  x∈R，将函数y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的

1

2

倍（纵坐不变），得到函数g（x）的图象，则关于f（x）•g（x）有下列命题，其中真命题的个数是（　　）
①函数y=f（x）•g（x）是奇函数；
②函数y=f（x）•g（x）不是周期函数；
③函数y=f（x）•g（x）的图象关于点（π，0）中心对称；
④函数y=f（x）•g（x）的最大值为

3

3

．

Answer 1

分析：利用三角函数的图象和性质，分别进行判断．①利用函数奇偶性的定义进行判断．②利用函数周期性的定义进行判断．③利用函数对称的性质进行判断．④利用特殊值进行判断．

解答：解：∵函数f(x)=sin

x

2

 ，  x∈R，将函数y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的

1

2

倍（纵坐不变），得到函数g（x）=sinx，
∴m（x）=f（x）•g（x）=sin

x

2

•sinx，
①m（-x）=sin（-

x

2

）•sin（-x）=sin

x

2

•sinx=m（x），∴函数y=f（x）•g（x）是偶函数，∴①错误．
②∵m（x+4π）=sin

x+4π

2

sin（x+4π）=sin

x

2

•sinx=m（x），∴4π是函数的一个周期，∴②错误．
③∵m（x）+m（2π-x）=sin

x

2

•sinx+sin

2π-x

2

•sin（2π-x）=sin

x

2

•sinx-sin

x

2

•sinx=0，∴函数y=f（x）•g（x）的图象关于点（π，0）中心对称，∴③正确．
④当x=

π

2

时，m（

π

2

）=sin

π

4

sin

π

2

=

2

2

＞

3

3

，∴函数y=f（x）•g（x）的最大值不是

3

3

．∴④错误．
故选A．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，综合性较强，运算量较大，涉及的知识点较大．