Question

15．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）若f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{2}{3}$（$\frac{π}{3}$＜α＜$\frac{π}{2}$），求sinα的值；
（2）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{12}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，a=2，B-A=$\frac{π}{2}$，求b的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦函数的周期性求得ω的值，由f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{2}{3}$求得sin（α+$\frac{π}{6}$）的值，可得cos（α+$\frac{π}{6}$）的值，再利用条件利用两角差的正弦公式求得sinα=sin[（α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]的值．
（2）由f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{12}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，求得sinA的值，根据B-A=$\frac{π}{2}$，求得sinB的值，再利用正弦定理求得b的值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）的最小正周期为$\frac{2π}{ω}$=π，
∴ω=2，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
由f（$\frac{α}{2}$）=2sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{2}{3}$（$\frac{π}{3}$＜α＜$\frac{π}{2}$），可得sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，
∴cos（α+$\frac{π}{6}$）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（α+\frac{π}{6}）}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sinα=sin[（α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=sin（α+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-cos（α+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$
=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-（-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}$．
（2）△ABC中，由f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{12}$）=2sin（A-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=2sinA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，可得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵B-A=$\frac{π}{2}$，∴sinB=sin（A+$\frac{π}{2}$）=cosA=$\sqrt{{1-sin}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
再根据a=2，利用正弦定理可得 $\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，即 $\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{b}{\frac{\sqrt{6}}{3}}$，求得b=2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，正弦定理的应用，属于基础题．