Question

已知a、b、c为三角形ABC中角A、B、C的对边，且a²-a-2b-2c=0，a+2b-2c+3=0，
（1）用边a表示边b和c；
（2）求这个三角形的最大内角．

Answer 1

分析：（1）把已知的两等式相减，消去c，用a表示出b，再把已知的等式相加，消去b，用a表示出c即可；
（2）根据（1）表示出的b大于0列出不等式，求出不等式的解集得到a的范围，根据a的范围，利用作差法得到b-c小于0，即b小于c，同时得到c-a大于0，即c大于a，进而得到c为三角形的最大边，根据大边对大角得到C为三角形的最大角，利用余弦定理表示出cosC，把表示出的b和c代入，化简后可求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出最大角C的度数．

解答：解：（1）因为a²-a-2b-2c=0，a+2b-2c+3=0，
所以a²-a-2b-（a+2b+3）=0，
所以b=

1

4

(a2-2a-3)=

1

4

(a-3)(a+1)，c=

1

4

(a2+3)；------（4分）
（2）因为b＞0，所以a²-2a-3＞0，所以a＞3，所以b-c=-

1

2

(a+3)＜0，
即b＜c，①
又c-a=

1

4

(a2-4a+3)=

1

4

(a-3)(a-1)＞0，
所以c＞a，②
由①②可得c边最大，----------（8分）
在三角形ABC中，有余弦定理得：
cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

a2+(b+c)(b-c)

2ab

=

- 1 4 a(a-3)(a+1)

1 2 a(a-3)(a+1)

=-

1

2

，
又因为C是三角形内角，
所以C=120°，即三角形的最大内角为120°．----------（12分）

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：三角形的边角关系，等式的性质，余弦定理以及特殊角的三角函数值，利用了消元的思想，第二小问得出a的范围后，利用作差的方法得到c为最大边是解题的关键．