Question

20．已知函数f（x）=e^xcosx-x．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；
（2）求出f（x）的导数，再令g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，可得g（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值．

解答 解：（1）函数f（x）=e^xcosx-x的导数为f′（x）=e^x（cosx-sinx）-1，
可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e⁰（cos0-sin0）-1=0，
切点为（0，e⁰cos0-0），即为（0，1），
曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；
（2）函数f（x）=e^xcosx-x的导数为f′（x）=e^x（cosx-sinx）-1，
令g（x）=e^x（cosx-sinx）-1，
则g（x）的导数为g′（x）=e^x（cosx-sinx-sinx-cosx）=-2e^x•sinx，
当x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得g′（x）=-2e^x•sinx≤0，
即有g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]递减，可得g（x）≤g（0）=0，
则f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]递减，
即有函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值为f（0）=e⁰cos0-0=1；
最小值为f（$\frac{π}{2}$）=e${\;}^{\frac{π}{2}}$cos$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{2}$=-$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导和运用二次求导是解题的关键，属于中档题．