题目内容

已知直线l的参数方程为
x=2+tcosα
y=tsinα
，（t为参数，α为倾斜角，且α≠
π
2
）与曲线
x2
16
+
y2
12
=1交于A，B两点．
（Ⅰ）写出直线l的一般方程及直线l通过的定点P的坐标；
（Ⅱ）求|PA||PB|的最大值．
证明：（Ⅰ）∵直线的参数方程为
x=2+tcosα
y=tsinα
，（t为参数，α为倾斜角，且α≠
π
2
），
所以
y
x-2
=
tsinα
tcosα
=tanα，∴直线l的一般方程xtanα-y-2tanα=0，
直线l通过的定点P的坐标为（2，0）．
（Ⅱ）∵l的参数方程为
x=2tcosα
y=tsinα
，而椭圆方程为
x2
16
+
y2
12
=1，右焦点坐标为P（2，0）
∴3（2+tcosα）2+4（tsinα）2-48=0，即（3+sin2α）t2+12cosαt-36=0
∵直线l过椭圆的右焦点，∴直线与椭圆有两个交点．
∴|PA||PB|=
36
3+sin2α
，又α为倾斜角，且α≠
π
2

∴0≤sin2α＜1，∴|PA||PB|的最大值为12．
故答案为12．
练习册系列答案
相关题目
C选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程：
x=2t
y=1+4t
（t为参数），曲线C的极坐标方程：ρ=2
2
sin（θ+
π
4
），求直线l被曲线C截得的弦长．
极坐标与参数方程：
已知直线l的参数方程是：
x=2t
y=1+4t
（t为参数），圆C的极坐标方程是：ρ=2
2
sin（θ+
π
4
），试判断直线l与圆C的位置关系．
已知直线l的参数方程为
x=
1
2
t
y=2+
3
2
t
（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρ=
sinθ
1-sin2θ
以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点M（0，2），直线l与曲线C交于A，B两点．
（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）线段MA，MB长度分别记|MA|，|MB|，求|MA|•|MB|的值．
（坐标系与参数方程选做题） 已知直线l的参数方程为
x=
2
2
t
y=1+
2
2
t
（t为参数），圆C的参数方程为
x=cosθ+2
y=sinθ
（θ为参数），则圆心C到直线l的距离为
3
2
2
．
3
2
2
．
．
（2013•香洲区模拟）已知直线L的参数方程为：
x=t
y=a+
3
t
（t为参数），圆C的参数方程为：
x=sinθ
y=cosθ+1
（θ为参数）．若直线L与圆C有公共点，则常数a的取值范围是
[-1，3]
[-1，3]
．

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