Question

【题目】已知椭圆： 的左顶点为，右焦点为，过点且斜率为1的直线交椭圆于另一点，交轴于点， ．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线与椭圆交于两点，连接（为坐标原点）并延长交椭圆于点，求面积的最大值及取最大值时直线的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 面积的最大值为3，此时直线的方程为

【解析】试题分析：（1）根据题意列出关于 、 、的方程组，结合性质 ， ，求出 、 、，即可得结果；（2）设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式及基本不等式的性质，即可求得面积为，根据基本不等式可求最大值及直线的方程.

试题解析：（1）由题知，故，代入椭圆的方程得，又，故，椭圆.

（2）由题知，直线不与轴重合，故可设，由得，

设，则，由与关于原点对称知，

，

， ，即，当且仅当时等号成立，

面积的最大值为3，此时直线的方程为.