Question

已知函数f(x)=2sin

x

4

cos

x

4

-2

3

sin2

x

4

+

3

．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令g(x)=f(x+

π

3

)，判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．

Answer 1

分析：利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数f(x)=2sin

x

4

cos

x

4

-2

3

sin2

x

4

+

3

为y=2sin（

x

2

+

π

3

），
（Ⅰ）直接利用周期公式求出周期，求出最值．
（Ⅱ）求出g(x)=f(x+

π

3

)的表达式．然后判断出奇偶性即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=2sin

x

4

cos

x

4

-2

3

sin2

x

4

+

3

=sin

x

2

+

3

cos

x

2

=2sin（

x

2

+

π

3

），
∴f（x）的最小正周期T=

2π

1 2

=4π．
当sin（

x

2

+

π

3

）=-1时，f（x）取得最小值-2；
当sin（

x

2

+

π

3

）=1时，f（x）取得最大值2．
（Ⅱ）g（x）是偶函数．理由如下：
由（1）知f（x）=2sin（

x

2

+

π

3

），
又g(x)=f(x+

π

3

)，
∴g（x）=2sin[

1

2

（x+

π

3

）+

π

3

]
=2sin（

x

2

+

π

2

）=2cos

x

2

．
∵g（-x）=2cos（-

x

2

）=2cos

x

2

=g（x），
∴函数g（x）是偶函数．

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简与求值，考查三角函数的基本性质，三角函数的奇偶性的判断，常考题型．