Question

已知函数f（x）=cos²x+

3

sinxcosx，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]，求函数f（x）的最大值及其相应的x值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的余弦与正弦可将函数f（x）=cos²x+

3

sinxcosx（x∈R）转化为y=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，利用三角函数的周期公式即可求得函数的最小正周期；
（2）利用正弦函数的性质可求y_max，由2x+

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z）可求其取最大值时相对应的x值．

解答：解：（1）∵函数f（x）=cos²x+

3

sinxcosx
=

1

2

（1+cos2x）+

3

2

sin2x
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，
∴其最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）当2x+

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），
x=kπ+

π

6

（k∈Z）时，y_max=

3

2

，
由于x∈[0，

π

2

]，
则此时x=

π

6

，函数f（x）取到最大值

3

2

．

点评：本题考查二倍角的余弦与正弦，考查正弦函数的单调性与最值，考查三角函数的周期及其求法，属于中档题．