Question

已知函数f(x)=logm

x-3

x+3

(m＞0且m≠1)．
（Ⅰ）若f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），判断f（x）的单调性，并加以说明；
（Ⅱ）当0＜m＜1时，是否存在α，β，使得f（x）在区间[α，β]（β＞α＞0）上的值域为[log_mm（β-1），log_mm（α-1）]，若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过对数的真数大于0，集合函数f（x）的定义域为[α，β]，推出α的范围．直接利用函数的单调性判断函数的单调性，注意当0＜m＜1与m＞1两种情况．
（Ⅱ）通过f（x）在[α，β]上的值域为[log_mm（β-1），log_mm（α-1）]，利用（Ⅰ）f（x）单调性．列出关系式，通过二次函数与方程的根的关系，确定m的范围，判断是否存在满足题意条件的α，β．

解答：解：（Ⅰ）

x-3

x+3

＞0?x＜-3或x＞3．由于f（x）的定义域为[α，β]，则α＞3．
设β≥x₁＞x₂≥α，有

x1-3

x1+3

-

x2-3

x2+3

=

6(x1-x2)

(x1+3)(x2+3)

＞0，
故当0＜m＜1时，f（x）为减函数，当m＞1时，f（x）为增函数．（4分）
（Ⅱ）若f（x）在[α，β]上的值域为[log_mm（β-1），log_mm（α-1）]
由（Ⅰ）知当0＜m＜1时，f（x）为减函数．
则

f(β)=logm β-3 β+3 =logmm(β-1) f(α)=logm α-3 α+3 =logmm(α-1)

即

mβ2+(2m-1)β-3(m-1)=0 mα2+(2m-1)α-3(m-1)=0

又β＞α＞3
即α，β为方程mx²+（2m-1）x-3（m-1）=0的大于3的两个不同的实数根．
从而

0＜m＜1 △=16m2-16m+1＞0 - 2m-1 2m ＞3 f(3)＞0

得0＜m＜

2- 3

4

．
故当0＜m＜

2- 3

4

时，存在满足题意条件的α，β．（13分）

点评：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，函数的值域，对数函数的单调性与特殊点，考查分析问题解决问题的能力．