Question

已知数列{a_n}满足，an+1=

an( a 2 n +3)

3 a 2 n +1

．
（1）若方程f（x）=x的解称为函数y=f（x）的不动点，求a_n+1=f（a_n）的不动点的值；
（2）若a₁=2，bn=

an-1

an+1

，求证：数列{lnb_n}是等比数列，并求数列{b_n}的通项．
（3）当任意n∈N^*时，求证：b₁+b₂+b₃+…+b_n＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）根据方程不动点的定义，令an=

an( a n 2 +3)

3 a n 2 +1

，解得a_n的值，
（2）把等式an+1=

an( a n 2 +3)

3 a n 2 +1

两边同时加1和两边同时减1，得到两式相除得

an+1+1

an+1-1

=(

an+1

an-1

)3，据此可以得数列lnb_n是以-ln3为首项，3为公比的等比数列，于是可以数列{b_n}的通项，
（3）根据bn=(

1

3

)3n-1≤(

1

3

)n，求得数列{(

1

3

)n}前n项和，然后判断其和与

1

2

的大小．

解答：解：（1）由方程a_n+1=f（a_n）得an=

an( a 2 n +3)

3 a 2 n +1

，
解得a_n=0，或a_n=-1，或a_n=1．
（2）∵an+1+1=

an( a 2 n +3)

3 a 2 n +1

+1=

(an+1)3

3an+1

，an+1-1=

an( a 2 n +3)

3 a 2 n +1

-1=

(an-1)3

3an+1

，
∴两式相除得

an+1+1

an+1-1

=(

an+1

an-1

)3，
即b_n+1=b_n³．
由a₁=2可以得到b_n＞0，则lnb_n+1=lnb_n³=3lnb_n．
又b1=

1

3

，得lnb₁=-ln3，
∴数列lnb_n是以-ln3为首项，3为公比的等比数列．
∴lnbn=(-ln3)•3n-1=ln(

1

3

)3n-1，bn=(

1

3

)3n-1（n∈N^*）．
（3）任意n∈N^*，3^n-1≥n．∴bn=(

1

3

)3n-1≤(

1

3

)n，
∴b₁+b₂+b₃++b_n＜

1

3

+(

1

3

)2+(

1

3

)3++(

1

3

)n
=

1 3 •[1-( 1 3 )n]

1- 1 3

＜

1

2

．

点评：本题主要考查数列求和和求等比数列的通项公式的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等比数列的性质，还需掌握运用放缩法解答不等式，本题是一道综合性试题，难度一般．