Question

已知双曲线=1(a＞0,b＞0)的左、右两个焦点分别为F₁、F₂，P是它左支上一点，P到左准线的距离为d，双曲线的一条渐近线为y=x，问是否存在点P，使d、|PF₁|、|PF₂|成等比数列?若存在，求出P的坐标；若不存在,说明理由.

Answer 1

解:假设存在点P(x₀,y₀)满足题中条件.

∵双曲线的一条渐近线为y=x,

∴=,b=a.

∴b²=3a²,c²－a²=3a²,=2,

即e=2.

由=2,得|PF₂|=2|PF₁|.                                             ①

∵双曲线的两准线方程为x=±,

∴|PF₁|=|2x₀+2·|=|2x₀+a|,

|PF₂|=|2x₀－2·|=|2x₀－a|.

∵点P在双曲线的左支上，

∴|PF₁|=－(a+ex₀),|PF₂|=a－ex₀,代入①得a－ex₀=－2(a+ex₀).

∴x₀=－a,代入－=1，得y₀=±a.

∴存在点P使d、|PF₁|、|PF₂|成等比数列，点P的坐标是(－a,±a).