题目内容

已知A、B、C是椭圆上的三点，其中点A的坐标为，BC过椭圆m的中心，且

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，

设D为椭圆m与y轴负半轴的交点，且，求实数t的取值范围．

 

【答案】

（1）（2）t∈（－2，4）

【解析】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是将 转化为kDN•k=-1进行求解.

(1)根据椭圆的性质和向量的数量积为零得到a,b的值，得到椭圆的方程。

(2)设出直线与椭圆联立方程组，然后结合根与系数的关系，和向量的等式得到参数的关系式，进而利用判别式得到范围。

解（1）∵过（0，0）

则

∴∠OCA=90°，  即  又∵

将C点坐标代入得 

解得  c2=8，b2=4

∴椭圆m： 

（2）由条件D（0，－2）  ∵M（0，t）

1°当k=0时，显然－2<t<2 

2°当k≠0时，设

   消y得

由△>0  可得     ①

设

则    

∴  

由 

∴   ②

∴t>1  将①代入②得   1<t<4

∴t的范围是（1，4）

综上t∈（－2，4） 

 

练习册系列答案
相关题目
已知A、B、C是椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的三点，其中点A的坐标为(2
3
，0)，BC过椭圆M的中心，且
AC
•
BC
=0，|
BC
|=2|
AC
|．
（1）求椭圆M的方程；
（2）过点（0，t）的直线l（斜率存在时）与椭圆M交于两点P、Q，设D为椭圆M与y轴负半轴的交点，且|
DP
|=|
DQ
|，求实数t的取值范围．
精英家教网如图所示，已知A，B，C是椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的三点，其中点A的坐标为(2
3
，0)，BC过椭圆的中心O，且AC⊥BC，|BC|=2|AC|．
（Ⅰ）求点C的坐标及椭圆E的方程；
（Ⅱ）若椭圆E上存在两点P，Q，使得∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，试判断向量
PQ
与
AB
是否共线，并给出证明．
已知A，B，C是椭圆m：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的三点，其中点A的坐标为（2
3
，0），BC过椭圆m的中心，且
AC
•
BC
=0，且|
BC
|=2|
AC
|．
（1）求椭圆m的方程；
（2）过点M（0，t）的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点，且|
DP
|=|
DQ
|．求实数t的取值范围．
精英家教网如图所示，已知A、B、C是椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的三点，，BC过椭圆的中心O，且AC⊥BC，|BC|=2|AC|．则椭圆的离心率为
 
．
（2013•北京）已知A，B，C是椭圆W：
x24
+y2=1上的三个点，O是坐标原点．
（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；
（Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．

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