Question

已知函数则函数y=f[f（x）]+1的零点个数是     个．

Answer 1

【答案】分析：当x≤0时，f（x）=x+1．当-1＜x≤0时，f（x）=x+1＞0，y=f[f（x）]+1=log₂（x+1）+1=0，x=-；当x≤-1时，f（x）=x+1≤0，y=f[f（x）]+1=f（x）+1+1=x+3=0，x=-3；当x＞0时，f（x）=log₂x，y=f[f（x）]+1=log₂[f（x）]+1．当0＜x＜1时，f（x）=log₂x＜0，y=f[f（x）]+1=log₂[f（x）]+1=log₂（log₂x+1）+1=0，x=；当x＞1时，f（x）=log₂x＞0，y=f[f（x）]+1=log₂（log₂x）+1=0，x=．由此能求出y=f[f（x）]+1的零点．
解答：解：当x≤0时，f（x）=x+1，
当-1＜x≤0时，f（x）=x+1＞0
y=f[f（x）]+1=log₂（x+1）+1=0，
x+1=，x=-．
当x≤-1时，f（x）=x+1≤0，
y=f[f（x）]+1=f（x）+1+1=x+3=0，
∴x=-3．
当x＞0时，f（x）=log₂x，
y=f[f（x）]+1=log₂[f（x）]+1，
当0＜x＜1时，f（x）=log₂x＜0，
y=f[f（x）]+1=log₂[f（x）]+1=log₂（log₂x+1）+1=0，
∴，x=；
当x＞1时，f（x）=log₂x＞0，
∴y=f[f（x）]+1=log₂（log₂x）+1=0，
∴，x=．
综上所述，y=f[f（x）]+1的零点是x=-3，或x=-，或x=，或x=．
故答案为：4．
点评：本题考查函数的零点个数的求法，是基础题，易错点是分类不全，容量出现丢解．解题时要注意分段函数的性质和应用，注意分类讨论法的合理运用．