Question

已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有x•f（x+1）=（x+1）•f（x），则f(

5

2

)的值是

0

．

Answer 1

分析：由已知中函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（x+1）f（x），我们易得到-

1

2

f(

1

2

)=

1

2

f(-

1

2

)，且f(

1

2

)=f(-

1

2

)，求出ff(

1

2

)值后，进而根据xf（x+1）=（x+1）f（x），求出f(

3

2

)，f(

5

2

)的值．

解答：解：由xf（x+1）=（1+x）f（x）可得

3

2

f(

5

2

)=

5

2

f(

3

2

)，

1

2

f(

3

2

)=

3

2

f(

1

2

)，-

1

2

f(

1

2

)=

1

2

f(-

1

2

)
∵f(

1

2

)=f(-

1

2

)，
∴f(

1

2

)=0，则f(

3

2

)=0，f(

5

2

)=0．
故答案为0．

点评：本题主要考查了抽象函数求值问题，以及函数奇偶性的应用，同时考查了转化的思想，属于基础题．