Question

已知椭圆中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q点，且OP⊥OQ，|PQ|=，求椭圆的方程.

Answer 1

解析：设直线y=x+1与椭圆mx²+ny²=1(m＞0,n＞0)的交点为P(x₁,y₁)、Q（x₂,y₂），联立方程组消去y，得(m+n)x²+2nx+(n-1)=0.

∴又OP⊥OQ,∴x₁x₂+y₁y₂=0,即2x₁x₂+(x₁+x₂)+1=0.从而得出

2· +1=0，解得m+n=2.        ①

 

由|PQ|=,得=,

即=，解得mn=.        ②

联立①②解得故所求椭圆方程为或.