Question

下列命题中，真命题是（ ）
A．存在
B．任意
C．存在x∈R，x²+x=-1
D．任意x∈（3，+∞），x²＞2x+1

Answer 1

【答案】分析：根据正弦型函数的图象和性质，可得当时，sinx+cosx的取值范围，进而判断A的真假；
根据三角函数在各象限的符号，分析出在时，tanx与sinx的大小，进而判断B的真假；
根据方程根的个数与△的关系，判断方程x²+x=-1根的存在性，进而判断C的真假；
根据二次函数的图象和性质，分析不等式x²+x=-1是否恒成立，可判断D的真假．
解答：解：当时，sinx+cosx∈[1，]，而2∉[1，]，故A错误；
当时，tanx＜0，sinx＞0，故tanx＜sinx恒成立，故B错误；
方程x²+x+1=0的△=1-4=-3＜0，故方程无实根，故C错误；
任意x∈（3，+∞），x²-2x-1=（x-1）²-2＞2＞0恒成立，即x²＞2x+1恒成立，故D正确
故选D
点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了三角函数的图象和性质，方程根的个数判断及二次不等式恒成立问题，是方程、函数、不等式的简单综合应用．