题目内容

已知函数f（x）=2^x
（1）设函数y=f（x）的反函数为y=g（x），求函数y=g（x²-2x-3）的单调递增区间；
（2）求满足不等式f（|x+1|-|x-1|） $数学公式$ 的x的取值范围．

解：（1）由f（x）=2^x，得y=g（x）=log₂x，则y=g（x²-2x-3）=log₂（x²-2x-3），
由x²-2x-3＞0，得x＜-1或x＞3，
所以函数y=g（x²-2x-3）的定义域为（-∞，-1）∪（3，+∞），
因为y=log₂u单调递增，u=x²-2x-3在（3+∞）上递增，
所以y=log₂（x²-2x-3）的递增区间为（3+∞）；
（2）f（|x+1|-|x-1|） $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
所以|x+1|-|x-1| $\text{[math]}$ ，
①当x≤-1时，不等式可化为-（x+1）-（1-x）≥ $\text{[math]}$ ，即-2≥ $\text{[math]}$ ，无解；
②当-1＜x≤1时，不等式可化为（x+1）-（1-x） $\text{[math]}$ ，即2x $\text{[math]}$ ，解得x $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ 1；
③当x＞1时，不等式可化为（x+1）-（x-1） $\text{[math]}$ ，即2 $\text{[math]}$ ，
所以x＞1；
综上，x $\text{[math]}$ ，即不等式f（|x+1|-|x-1|） $\text{[math]}$ 的x的取值范围为x $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先由f（x）求得g（x），进而得到y=g（x²-2x-3），根据复合函数单调性的判断方法可求得函数的单调增区间，注意函数的定义域；
（2）表示出不等式，利用指数函数的单调性可得|x+1|-|x-1| $\text{[math]}$ ，按照x≤-1，-1＜x≤1，x＞1三种情况讨论去掉绝对值符号即可解得不等式；
点评：本题考查复合函数的单调性、反函数以及绝对值不等式的求解，考查分类讨论思想，综合性较强，难度较大．