Question

（1）已知函数f（x）=|x+7|，g（x）=m-|x-2|，若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围．
（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，a+b+c=9，且2|x-1|+|x|≥

3

abc

对任意的a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，等价于|x+7|＞m-|x-2|，分离参数m＜|x-2|+|x+7|，求右边的最值，即可求实数m的取值范围．
（2）利用

3	abc

≤

a+b+c

3

=3（当且仅当a=b=c=3时取等号），2|x-1|+|x|≥

3	abc

对任意的a，b，c恒成立，等价于2|x-1|+|x|≥3恒成立，分类讨论，即可求实数x的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，
∴|x+7|＞m-|x-2|
∴m＜|x-2|+|x+7|
由绝对值不等式的性质可知|x-2|+|x+7|≥|（x-2）-（x+7）|=9
∴m＜9；
（2）∵a＞0，b＞0
∴

3	abc

≤

a+b+c

3

=3（当且仅当a=b=c=3时取等号）
2|x-1|+|x|≥

3	abc

对任意的a，b，c恒成立，等价于2|x-1|+|x|≥3恒成立，
∴

x≤0 -2x+2-x≥3

或

0＜x≤1 -2x+2+x≥3

或

x＞1 2x-2+x≥3

∴x≤-

1

3

或x≥

5

3

．

点评：本题考查恒成立问题，考查求最值，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．