Question

平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A(1，0)、B(0，-2)，点C满足=α+β，其中α、β∈R，α-2β=1．

(1)求点C的轨迹方程；

(2)设点c的轨迹与双曲线=1(a＞0，b＞0)交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，求证：为定值；

(3)在(2)的条件下，若双曲线的离心率不大于，求双曲线实轴长的取值范围．

Answer 1

(1)解设C(x，y)，，(x，y)=α(1，0)+β（0，-2）

∴

∵α-2β=1即x+y=1.即点C的轨迹方程为x+y=1

(2)由得：

(b²-a²)x²+2a²x-a²-a²b²=0

题意得b²-a²≠0.

设M(x₁，y₁)、N(x₂,y₂)，

则x₁+x₂=，x₁·x₂=

因为以MN为直径的圆过原点，=0，即

x₁x₂+y₁y₂=0

∴x₁x₂+(1-x₁)(1-x₂)=1-(x₁+x₂)+2x₁x₂=1+

即b²-a²-2a²b²=0．∴=2为定值

(3)∵e≤   ∴≤3

∵=2   ∴b²=

∴1+≤3即1-2a²≥

∴0＜a≤从而0＜2a≤1

∴双曲线实轴长的取值范围是(0，1].