Question

【题目】如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，点是棱的中点，，.

（1）若，证明：平面平面；

（2）若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

(1)由已知可证得平面,则有,在中,由已知可得,即可证得平面,进而证得结论.

(2) 过作交于,由为的中点,结合已知有平面.

则,可求得.建立坐标系分别求得面的法向量,平面的一个法向量为,利用公式即可求得结果.

（1）证明：平面，平面，

,又四边形为正方形，

.

又、平面，且，

平面..

中，，为的中点，

.

又、平面，，

平面.

平面，平面平面.

（2）解：过作交于，如图

为的中点，，.

又平面，平面.

，.

所以,又、、两两互相垂直，以、、为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系.，，，

设平面的法向量，则

，即.

令，则，..

平面的一个法向量为

.

二面角的余弦值为.