Question

已知O为坐标原点,直线l经过点P(2,0),且与抛物线y²=4x交于A、B两个不同点.

(1)求证:直线OA与直线OB不垂直;

(2)如果点E(8,0)在以线段AB为直径的圆上,求直线l的方程.

Answer 1

答案：(1)证明:设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则y₁²=4x₁,y₂²=4x₂,

=(x₁-2,y₁),=(x₂-2,y₂),∵P、A、B共线,∴∥.

∴(x₁-2)y₂-y₁(x₂-2)=0.由y₁²=4x₁,y₂²=4x₂得x₁=,x₂=,

代入(x₁-2)y₂-y₁(x₂-2)=0,化简得y₁y₂=-8.

∵=(x₁,y₁),=(x₂,y₂),∴x₁x₂+y₁y₂=+y₁y₂=-4≠0.

∴与不垂直.∴直线OA与直线OB不垂直.

(2)解:∵=(x₁-8,y₁),=(x₂-8,y₂),由点E(8,0)在以线段AB为直径的圆上得⊥.

∴(x₁-8)(x₂-8)+y₁y₂=0.

将x₁=,x₂=,y₁y₂=-8代入(x₁-8)(x₂-8)+y₁y₂=0.∴y₁²+y₂²=30.

∴y₁+y₂=±=±.

∴直线AB的斜率存在,设其为k,则k==±.

∴直线AB的方程为y=±(x-2).

∴当点E(8,0)在以线段AB为直径的圆上时,直线l的方程为y=±(x-2).