Question

3．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}a{x^2}$-lnx-2，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的解析式，求得函数的导数，求得切线的斜率；
（Ⅱ）求出函数的导数，对a讨论，分a≤0，a＞0时，由导数大于0，可得增区间，由导数小于0，可得减区间；
（Ⅲ）讨论a≤0，a＞0时，由单调性可得零点的个数，由极小值小于0，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（I）当a=1时，函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-lnx-2，
$f'（x）=x-\frac{1}{x}，x＞0$，
∴k=f′（1）=0，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为0．
（II）$f'（x）=ax-\frac{1}{x}=\frac{{a{x^2}-1}}{x}，x＞0$，
①当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；   
②当$a＞0时，令f'（x）=0，解得x=\frac{{\sqrt{a}}}{a}$.$当x∈（0，\frac{{\sqrt{a}}}{a}）时，f'（x）＜0；当x∈（\frac{{\sqrt{a}}}{a}，+∞）时，f'（x）＞0$．
∴$函数f（x）在（0，\frac{{\sqrt{a}}}{a}）内单调递减；在（\frac{{\sqrt{a}}}{a}，+∞）内单调递增$；
（III）当a≤0时，由（2）可知f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，
函数f（x）不可能有两个零点；                                  
当a＞0时，由（2）得，$函数f（x）在（0，\frac{{\sqrt{a}}}{a}）内单调递减，在（\frac{{\sqrt{a}}}{a}，+∞）内单调递增$，
且当x趋近于0和正无穷大时，f（x）都趋近于正无穷大，故若要使函数f（x）有两个零点；
则f（x）的极小值$f（\frac{{\sqrt{a}}}{a}）＜0$，即$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}lna-2＜0$，解得0＜a＜e³，
所以a的取值范围是（0，e³）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查函数的零点的判断，以及单调性的运用，运用分类讨论的思想方法，属于中档题．