Question

已知函数y=sin2x+asinx-acosx-

1

2

a-1 (-

π

4

≤x≤

π

2

)的最大值为2，求实数a的值．

Answer 1

分析：令sinx-cosx=t，则-

2

≤t≤1，y=-(t-

a

2

)2+

a2

4

-

1

2

a，讨论对称轴t=

a

2

与区间[-

2

，1]的关系，分对称轴在区间[-

2

，1]的左侧、中间、在右侧三种情况分别求出a的值，最后取并集即得a的所有值．

解答：解：令sinx-cosx=t，则sin2x=1-t² ．（1分）
∴y=1-t2+at-

1

2

a-1=-t2+at-

1

2

a=-(t-

a

2

)2+

a2

4

-

1

2

a．（2分）
∵t=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)，由-

π

4

≤x≤

π

2

 得 -

π

2

≤x-

π

4

≤

π

4

，∴-

2

≤t≤1．（3分）
①当

a

2

＜-

2

，即 a＜-2

2

 时，在 t=-

2

 处 ymax=-(

2

+

1

2

)a-2，
由-(

2

+

1

2

)a-2=2 解得 a=-

8

2 2 +1

=-

8

7

(2

2

-1)＞-2

2

．（舍）（6分）
②当-

2

≤

a

2

≤1，即 -2

2

≤a≤2 时，ymax=

a2

4

-

1

2

a．
由

a2

4

-

1

2

a=2 得 a2-2a-8=0  解得  a=-2 或 a=4．（舍）（9分）
③当

a

2

＞1，即a＞2时，在t=1处ymax=

a

2

-1，由 

a

2

-1=2得a=6．
因此，a=-2 或a=6．（12分）

点评：本题主要考查两角差的正弦公式，二次函数的最值的求法，体现了分类讨论的数学思想，注意t的取值范围，这是解题的易错点．