Question

已知等差数列{a_n}满足：a₃=7，a₅+a₇=26，{a_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）令b_n=

1

an2-1

（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．
友情提醒：形如{

1

等差×等差

}的求和，可使用裂项相消法如：

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

99×100

=

1

2

{(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

99

-

1

100

)}=

99

200

．

Answer 1

分析：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，由于a₃=7，a₅+a₇=26，可得

a1+2d=7 2a1+10d=26

，解得a₁，d，再利用通项公式和前n项和公式即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2n+1，利用“裂项求和”即可得出．

解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₃=7，a₅+a₇=26，
∴

a1+2d=7 2a1+10d=26

，解得a₁=3，d=2，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1；
S_n=3n+

n(n-1)

2

×2=n²+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2n+1，
∴b_n=

1

an2-1

=

1

(2n+1)2-1

=

1

4

•

1

n(n+1)

=

1

4

•(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=

1

4

•(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

1

4

•(1-

1

n+1

)=

n

4(n+1)

，
即数列{b_n}的前n项和T_n=

n

4(n+1)

．

点评：本题考查了等差数列通项公式和前n项和公式、“裂项求和”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．