Question

已知函数f(x)=

x2

2

+ax+b，其中a、b∈R，g（x）=e^x（e是自然对数的底）．
（1）当b＜a＜1，f（1）=0，且函数y=2f（x）+1的零点，证明：-

3

2

＜b≤-

1

2

；
（2）当b=1时，若不等式f（x）≤g（x）在x∈(

1

2

，+∞)恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=0，结合b＜a＜1，我们可以构造关于b的不等式①，再由函数y=2f（x）+1的零点，即x²+2ax+2b+1=0有实根，根据△≥0，我们可以构造关于b的不等式②，解不等式组即可得到b的范围．
（2）由不等式f（x）≤g（x）在x∈(

1

2

，+∞)恒成立，我们可以得到a≤

ex- 1 2 x2-1

x

在x∈(

1

2

，+∞)恒成立，即在x∈(

1

2

，+∞)上，a值小于等于函数g(x)=

ex- 1 2 x2-1

x

的最小值，利用导数法求出函数的最值后，即可得到a的取值范围．

解答：解：（I）由f（1）=0，得a=-

2b+1

2

又b＜a＜1，
∴b＜-

2b+1

2

＜1，
解得-

3

2

＜b＜-

1

4

①
且函数y=2f（x）+1的零点，即x²+2ax+2b+1=0有实根
∴△=4a²-4（2b+1）≥0
将a=-

2b+1

2

代入化简得：4b²-4b-3≥0
解得b≤-

1

2

或b≥

3

2

②
由①②得-

3

2

＜b≤-

1

2

．

（II）当b=1时，f(x)=

x2

2

+ax+1，由式f（x）≤g（x），
得ax≤ex-

1

2

x2-1在x∈(

1

2

，+∞)恒成立，
即a≤

ex- 1 2 x2-1

x

在x∈(

1

2

，+∞)恒成立，
令g(x)=

ex- 1 2 x2-1

x

，则g′(x)=

ex(x-1)- 1 2 x2+1

x2

令h(x)=ex(x-1)-

1

2

x2+1，则h'（x）=x（e^x-1）
∵x∈(

1

2

，+∞)
∴h′（x）＞0
即h（x）在(

1

2

，+∞)上单调递增
∴h（x）≥h（

1

2

）=

7

8

-

e

2

＞0
∴g'（x）＞0
∴g（x）在x∈(

1

2

，+∞)单调递增
则g（x）≥g（

1

2

）=

e 1 2 - 1 8 -1

1 2

=2

e

-

9

4

故a≤2

e

-

9

4

点评：本题考查的知识点是函数零点的判定定理，函数恒成立问题，利用导数求闭区间上的函数最值，（1）中根据已知条件构造构造关于b的不等式组是证明的关键；（2）中将不等式f（x）≤g（x）在x∈(

1

2

，+∞)恒成立，转化为函数恒成立问题是解答的关键．