Question

在各项都为正数的等比数列{a_n}中，已知a₃=4，前三项的和为28．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足：b_n=log₂a_n，b₁+b₂+…+b_n=S_n，求取最大时n的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设公比为q，由题设知，解得，或．（舍）．由此能求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）b_n=log₂a_n==5-n．S_n=4+3+2+…+（5-n）=．所以，==．由此能求出取最大时n的值．
解答：解：（Ⅰ）设公比为q，则有a₃=4，前三项的和为28，
知，
解得，或．
∵等比数列{a_n}各项都为正数，
∴不合题意，舍去．
∴，
．
（Ⅱ）∵，
∴b_n=log₂a_n==5-n．
S_n=b₁+b₂+…+b_n=4+3+2+…+（5-n）
=．
∴，
∴=+…+
=
=-（）
=．
∴n=4时，取最大值8．
点评：本题主要考查了等比数列的性质．即在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列．解题时要认真审题，注意配方法的灵活运用．