题目内容

已知函数f （x）=ax+ $数学公式$ -3ln x．
（1）当a=2时，求f （x）的最小值；
（2）若f （x）在[1，e]上为单调函数，求实数a的取值范围．

解：（1）当a=2时，f（x）=2x+ $\text{[math]}$ -3lnx
f'（x）=2- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
令f'（x）=0得x=2或- $\text{[math]}$ （∵x＞0，舍去负值）

∴当a=2时，函数f（x）的最小值为5-3ln2．（6分）

（2）∵f'（x）= $\text{[math]}$ ，
令h（x）=ax²-3x-a=a（x- $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ ，
要使f（x）在[1，e]上为单调函数，
只需f'（x）在（1，e）内满足：f'（x）≥0或f'（x）≤0恒成立，且等号只在孤立点取得．
∵h（1）=-3＜0
∴h（e）=ae²-3e-a≤0
∴a≤ $\text{[math]}$
①当0≤a≤ $\text{[math]}$ 时，f'（x）≤0恒成立
②当a＜0时，x= $\text{[math]}$ ∉[1，e]，
∴h（x）＜0（x∈[1，e]）
∴f'（x）＜0，符合题意．
综上可知，当a≤ $\text{[math]}$ 时，f（x）在[1，e]上为单调函数．（14分）
分析：（1）当a=2时，f（x）=2x+ $\text{[math]}$ -3lnx，求导得f'（x）=2- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，因为定义域为开区间，求得极值即为最值．
（2）先求f'（x）= $\text{[math]}$ ，再由“f（x）在[1，e]上为单调函数”转化为“f'（x）≥0或f'（x）≤0在[1，e]上恒成立”，最后转化为最值法求解．
点评：本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围往往转化为求相应函数的最值问题．