题目内容

5．不等式组$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{x+y≤0}\\{x-y+2≥0}\end{array}\right.$的解集为D，有下列命题，
①?（x，y）∈D，x+y+2＜0；②?（x，y）∈D，$\frac{y-1}{x-1}$≤1；
③?（x，y）∈D，（x+2）2+（y+1）2＜$\frac{1}{2}$；④?（x，y）∈D，（x+1）2+y2≤1．
其中正确命题的个数是（　　）
A．1B．2C．3D．4

分析 作出不等式组表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．

解答 解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
①蓝色虚线和平面区域无交点，故不?（x，y）∈D，x+y+2＜0，①错误；
②$\frac{y-1}{x-1}$的几何意义表示过（1，1）和平面区域内的点的斜率，
而斜率k的范围是[0，1]，故②正确；
③（x+2）2+（y+1）2＜$\frac{1}{2}$表示圆心为（-2，-1），半径为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的圆的内部，（见黄色圆），
显然和平面区域无公共部分，故不?（x，y）∈D，（x+2）2+（y+1）2＜$\frac{1}{2}$，③错误；
④（x+1）2+y2≤1表示圆心为（-1，1），半径为1的圆及其内部，（见绿色圆），故④正确；
故选：B．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，本题属于中档题．

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