Question

（2013•嘉定区二模）过点P（1，1）作直线与双曲线x2-

y2

2

=1交于A、B两点，使点P为AB中点，则这样的直线（　　）

A．存在一条，且方程为2x-y-1=0

B．存在无数条

C．存在两条，方程为2x±（y+1）=0

D．不存在

Answer 1

分析：利用平方差法：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入双曲线方程然后作差，由中点坐标公式及斜率公式可求得直线l的斜率，再用点斜式即可求得直线方程，然后再检验直线与曲线方程联立的方程的解的存在的情况

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
则x₁²-

1

2

y12=1，x₂²-

1

2

y22=1，
两式相减得（x₁-x₂）（x₁+x₂）-

1

2

（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
∴x1-x2=

1

2

(y1-y2)，
即k_AB=2，
故所求直线方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0．
联立

y=2x-1 x2- 1 2 y2=1

可得2x²-4x+3=0，但此方程没有实数解
故这样的直线不存在
故选D

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查直线方程的求法，涉及弦中点问题，往往考虑利用“平方差法”加以解决．但是一定要检验所求直线与椭圆的方程的解的存在情况