Question

画出方程x⁴－x²=y⁴－y²的曲线C，并解答：

(1)若点A(m，)在曲线C上，求m的值；

(2)求曲线C的截距；

(3)若直线y=a(aR)与曲线C分别有一个、二个、三个、四个交点，求a的值或其取值范围．

 

Answer 1

答案：
解析：

原方程可化为 (x2－y2)(x2+y2－1)=0 即  y=±x或x2+y2=1．故方程的曲线C如图所示 (1)因点A(m，)在曲线C上， ∴(m2－2)[m2+()2－1]=0， 解之，有m=±。　　                               (2)直线y=±x的截距为零． 圆x2+y2=1在x轴上的截距分别为－1和1，在y轴上的截距也是－1和1。 (3)解方程组得直线与圆的四个交点A()，B()，E()，D()，结合图像可知： 当直线y=a与曲线C有两个交点时： a>1或a<－1，或a=或a=， 当直线y=a与曲线C有三个交点时： a=1或a=－1，或a=0， 当直线y=a与曲线C有四个交点时： 0<a<1且a≠，或－1<a<0且a≠， 由曲线的对称性知，直线y=a与曲线C不会只有一个交点，即不存在实数a，使直线y=a与曲线C有一个交点。