Question

已知函数f（x）=sin（ωx+

π

6

）+sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ωx

2

（x∈R，ω＞0）
（Ⅰ）求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若x=

π

3

是函数f（x）的图象的一条对称轴且1＜ω＜5，求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两角和与差的余弦、正弦函数以及二倍角公式公式，化简函数f（x）=sin（ωx+

π

6

）+sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ωx

2

为：f（x）=2sin(ωx-

π

6

)-1，然后求出值域．
（Ⅱ）x=

π

3

是函数f（x）的图象的一条对称轴，推出ω•

π

3

-

π

6

=kπ+

π

2

k∈z，根据ω的范围，求出ω的值，结合正弦函数的单调增区间，求出f（x）的单调递增区间．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=2sinωx•cos

π

6

-(1+cosωx)（2分）
=

3

sinωx-cosωx-1=2sin(ωx-

π

6

)-1（4分）
∴f（x）的值域为：[-3，1]（6分）
（Ⅱ）由题意ω•

π

3

-

π

6

=kπ+

π

2

k∈z
∴ω=3k+2（8分）
∵1＜ω＜5∴ω=2，f(x)=2sin(2x-

π

6

)-1（9分）
由2πk-

π

2

≤2x-

π

6

≤2πk+

π

2

，k∈z
得f（x）的增区间为：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈z）（12分）

点评：本题是基础题，考查正弦函数的对称性，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性，化简函数的表达式，是解题的关键，能够准确利用函数的性质求解，体现学生的数学素养．