Question

【题目】定义：对于任意，仍为数列中的项，则称数列为“回归数列”．

（1）己知()，判断数列是否为“回归数列”，并说明理由；

（2）若数列为“回归数列”，，，且对于任意，均有成立．①求数列的通项公式；②求所有的正整数s，t，使得等式成立．

Answer 1

【答案】（1）不是“回归数列”，说明见解析（2）①，②使得等式成立的所有的正整数s，的值是s＝1，t＝3

【解析】

（1）假设是“回归数列”，则对任意，总存在，使成立，列出方程即可求解。

（2）①因为，所以，根据为“回归数列”，得，可得以数列为等差数列，即可求解；

②由，求得，分类讨论，根据数列的单调性，即可求解。

（1）假设是“回归数列”

则对任意，总存在，使成立，

即，即，

此时等式左边为奇数．右边为偶数，不成立，所以假设不成立

所以不是“回归数列”；

（2）①因为，所以，

所以且，

又因为为“回归数列”，所以，

即，所以数列为等差数列.

又因为所以.

②因为，所以

因为，所以，

又因为，所以，

当时，式整理为，不成立，

当时，式整理为，

设，因为，

所以时，时，

所以，所以s无解

当时，式整理，因为，所以s＝1

综合所述，使得等式成立的所有的正整数s，的值是s＝1，t＝3