Question

如图，过抛物线x²=4y的对称轴上任一点P（0,m）（m＞0）作直线与抛物线交于A,B两点，点Q是点P关于原点的对称点.

(1)设点P分有向线段所成的比为λ，证明⊥（-λ）；

(2)设直线AB的方程是x-2y+12=0,过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.

Answer 1

解:(1)依题意，可设直线AB的方程为y=kx+m,代入抛物线方程x²=4y,得?

x²-4kx-4m=0.                                                                                                          ①?

设A,B两点的坐标分别是(x₁,y₁)、(x₂,y₂)，则x₁、x₂是方程①的两根.?

所以x₁x₂=-4m.                                                                                                        ?

由点P(0，m)分有向线段所成的比为λ，得=0，即λ=-.?

又点Q与点P关于原点对称，故点Q的坐标是(0,-m)，从而=(0,2m).               ?

-λ=(x₁,y₁+m)-λ(x₂,y₂+M)=(x₁-λx₂,y₁-λy₂+(1-λ)m).                             ?

·(-λ)=2m［y₁-λy₂+(1-λ)m］?

=2m［+·+(1+)m］?

=2m(x₁+x₂)·?

=2m(x₁+x₂)·=0.?

 所以⊥(-λ).                                                                                 ?

(2)由得点A,B的坐标分别是(6,9)、(-4，4).                                 ?

由x²=4y,得y=x²，y′=x.所以抛物线x²=4y在点A处切线的斜率为y′|_x=6=3.   ?

设圆C的圆心为(a,b)，方程是(x-a)²+(y-b)²=r²，?

则?

解得a=-,b=.∴r²=.?

则圆C的方程是(x+)²+(y-)²=.?

(或x²+y²+3x-23y+72=0).