Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1
（1）求证：{a_n}是等差数列；
（2）求{a_n}的前n项和S_n
（3）设bn=

Sn

n

，试求

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bn-1bn

．

Answer 1

分析：（1）利用定义只要证明当n≥2时，a_n-a_n-1为常数即可．
（2）由等差数列的前n项和公式Sn=

n(a1+an)

2

求出即可．
（3）因为b_n=n，所以由

1

i(i+1)

=

1

i

-

1

i+1

裂项求和即可．

解答：解：（1）a₁=2×1-1=1；当n≥2时，a_n-a_n-1=2n-1-[2（n-1）-1]=2为常数，∴数列{a_n}是以a₁=2×1-1=1为首项，2为公差的等差数列．
（2）根据等差数列的前n项和公式得Sn=

n(1+2n-1)

2

=n²．
（3）∵bn=

Sn

n

=

n2

n

=n，∴

1

bibi+1

=

1

i(i+1)

=

1

i

-

1

i+1

，
∴

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bn-1bn

=(

1

1

-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=1-

1

n

=

n-1

n

．

点评：本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式及裂项求和，理解和掌握以上公式和方法是解决问题的关键．