Question

一个多面体的直观图和三视图（主视图、左视图、俯视图）如图所示，M、N分别为A₁B、B₁C₁的中点。

            

   （Ⅰ）求证：MN//平面ACC₁A₁­；

   （Ⅱ）求证：MN⊥平面A₁BC。

Answer 1

解：由题意可知，这个几何体是直三棱柱，且AC⊥BC，AC=BC=CC₁

（Ⅰ）连结AC₁，AB₁。

由直三棱柱的性质得AA₁⊥平面A₁B₁C₁，所以AA₁⊥A₁B₁，则四边形ABB₁A₁为矩形。

由矩形性质得AB₁过A₁B的中点M

在△AB₁C₁中，由中位线性质得MN//AC₁，

又AC₁平面ACC₁A₁，MN平面ACC₁A₁，

所以MN//平面ACC₁A₁ 

（Ⅱ）因为BC⊥平面ACC₁A₁，AC平面ACC₁A_1­，所以BC⊥AC₁

在正方形ACC₁A₁中，A₁CA⊥AC₁

又因为BCA_­1C=C，所以AC₁⊥平面A₁BC

由MN//AC₁，得MN⊥平面A₁BC