Question

已知等差数列{a_n}，若a_n=8-2n
（1）求数列{|a_n|}的前n项和为T_n
（2）设bn=2an，求证：数列{b_n+1}不是等比数列．

Answer 1

分析：（1）由等差数列的通项公式求出首项和公差，判出数列的前4项大于等于0，从第5项起小于0，然后分类求出数列{|a_n|}的前n项和为T_n；
（2）把a_n=8-2n代入bn=2an，得到

bn+1

bn-1+1

（n≥2）的值，然后取n=1，n=2验证即可．

解答：解：（1）由a_n=8-2n，
得a₁=6，d=a_n-a_n-1=8-2n-[8-2（n-1）]=-2（n≥2）．
再由a_n=8-2n≥0，得n≤4．
∴等差数列{a_n}的前4项大于等于0，从第5项起小于0．
则当n≤4时，数列{|a_n|}的前n项和
Tn=na1+

n(n-1)d

2

=6n+

n(n-1)(-2)

2

=7n-n²；
当n＞4时，数列{|a_n|}的前n项和
T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|
=a₁+a₂+a₃+a₄-a₅-a₆-…-a_n
=-（a₁+a₂+…+a_n）+2（a₁+a₂+a₃+a₄）
=-

(6+8-2n)•n

2

+2[4×6+6×(-2)]=n²-7n+24．
综上，Tn=

7n-n2         (n≤4) n2-7n+24  (n＞4)

（2）由bn=2an=28-2n，得bn+1=28-2n+1．

bn+1

bn-1+1

=

28-2n+1

28-2(n-1)+1

=

28-2n+1

210-2n+1

（n≥2）．
当n=2时，

28-2n+1

210-2n+1

=

17

65

．
当n=3时，

28-2n+1

210-2n+1

=

5

17

．
∴数列{b_n+1}不是等比数列．

点评：本题考查了等比关系的确定，考查了数列的和的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．