Question

已知二次函数f(x)=ax²+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f(x-1)=f(3-x)且方程f(x)=2x有等根.

（1）求f(x)的解析式；

（2）是否存在实数m,n(m＜n)，使f(x)的定义域和值域分别为［m,n］和［4m,4n］，如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由.

Answer 1

解析：利用等根可得判别式Δ=0即可得到b的值，同时根据f(x-1)=f(3-x)知此函数图ax²+bx-2x=0象的对称轴方程为x=-=1，得a的值.

解：(1)∵方程有等根，Δ=(b-2)²=0，得b=2.

由f(x-1)=f(3-x)知此函数图ax²+bx-2x=0象的对称轴方程为x=-=1，得a=-1，故f(x)=-x²+2x.

(2)∵f(x)=-(x-1)²+1≤1，

∴4n≤1，即n≤.而抛物线y=-x²+2x的对称轴为x=1，

∴当n≤时，f(x)在［m,n］上为增函数．

若满足题设条件的m,n存在，则

即

又m＜n≤，

∴m=-2,n=0,

这时，定义域为［-2,0］，值域为［-8,0］.由以上知满足条件的m,n存在, m=-2,n=0.