Question

【题目】对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]D，同时满足： ①f（x）在[m，n]内是单调函数；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．
则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．
（2）求证：函数 不存在“和谐区间”．
（3）已知：函数 （a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n﹣m的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵y=x2在区间[0，1]上单调递增．

又f（0）=0，f（1）=1，

∴值域为[0，1]，

∴区间[0，1]是y=f（x）=x2的一个“和谐区间”

（2）解：设[m，n]是已知函数定义域的子集．

∵x≠0，[m，n]（﹣∞，0）或[m，n]（0，+∞），

故函数 在[m，n]上单调递增．

若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则

故m、n是方程 的同号的相异实数根．

∵x2﹣3x+5=0无实数根，

∴函数 不存在“和谐区间”．

（3）解：设[m，n]是已知函数定义域的子集．

∵x≠0，[m，n]（﹣∞，0）或[m，n]（0，+∞），

故函数 在[m，n]上单调递增．

若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则

故m、n是方程 ，即a2x2﹣（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根．

∵ ，

∴m，n同号，只须△=a2（a+3）（a﹣1）＞0，即a＞1或a＜﹣3时，

已知函数有“和谐区间”[m，n]，

∵ ，

∴当a=3时，n﹣m取最大值

【解析】（1）根据二次函数的性质，我们可以得出y=f（x）=x2在区间[0，1]上单调递增，且值域也为[0，1]满足“和谐区间”的定义，即可得到结论．（2）该问题是一个确定性问题，从正面证明有一定的难度，故可采用反证法来进行证明，即先假设区间[m，n]为函数的“和谐区间”，然后根据函数的性质得到矛盾，进而得到假设不成立，原命题成立．（3）设[m，n]是已知函数定义域的子集，我们可以用a表示出n﹣m的取值，转化为二次函数的最值问题后，根据二次函数的性质，可以得到答案．