Question

已知抛物线方程为y²=4x，过Q(2，0)作直线l，
(1)若l与x轴不垂直，交抛物线于A、B两点，是否存在x轴上一定点E(m，0)，使得∠AEQ=∠BEQ？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；
(2)若l与x轴垂直，抛物线的任一切线与y轴和l分别交于M、N两点，则自点M到以QN为直径的圆的切线长
|MT|为定值，试证之．

Answer 1

解：(1)设l的方程为：y=k(x-2)，
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
由消去x得：，，y₁y₂=-8，
若∠AEQ=∠BEQ，则k_AE+k_BE=0，
即，

，
故存在m=-2，使得∠AEQ=∠BEQ。
(2)设P(x₀，y₀)在抛物线上，由抛物线的对称性，不妨设y₀＞0，
则过P点的切线斜率，
切线方程为：，
令x=0，∴，
令x=2，
∴，
则以QN为直径的圆的圆心坐标为O′，半径，
∴
，
∴|MT|=，即切线长|MT|为定值。