题目内容

已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx．
（I）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（II）若函数 $数学公式$ 的最小值；
（III）若0＜n＜m，求证： $数学公式$ ．

解：（I）当a=1时，f（x）=x-1-2lnx， $\text{[math]}$ ，
由f'（x）＞0，得x＞2；
由f'（x）＜0，得0＜x＜2．
故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）

（II）因为 $\text{[math]}$ 上恒成立不可能，
故要使函数 $\text{[math]}$ 上无零点，
只要对任意的 $\text{[math]}$ 恒成立，
即对 $\text{[math]}$ 恒成立．
令 $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
综上，若函数 $\text{[math]}$ ，则a的最小值为2-4ln2．
（III）证明：由第（I）问可知f（x）=（x-1）-2lnx在（0，1]上单调递减．
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$

分析：（I）代入a的值，写出函数的解析式，对函数求导，使得导函数大于0，求出自变量的值，写出单调区间．
（II）根据函数无零点，得到函数的导函数小于0在一个区间上不恒成立，得到函数在这个区间上没有零点，构造新函数，对函数求导，利用求最值得方法求出函数的最小值．
（III）要证明不等式成立，由第（I）问可知f（x）=（x-1）-2lnx在（0，1]上单调递减，得到两个自变量的函数值之间的关系，整理出结果．
点评：本小题主要考查函数与导数等知识，考查恒成立问题，化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力，本题解题的关键是最后一问，利用函数的单调性证明不等式．