Question

已知圆C的方程为：（x+1）²+（y-2）²=2．
（1）若圆C的切线l在x轴和y轴上的截距相等，求切线l的方程；
（2）过原点的直线m与圆C相交于A、B两点，若|AB|=2，求直线m的方程．

Answer 1

分析：由圆的标准方程找出圆心C的坐标及圆的半径r，
（1）分两种情况考虑：①切线l过原点，可设切线l方程为y=kx，由直线与圆相切得到d=r，利用点到直线的距离公式求出圆心C到切线l的距离d，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出直线l的方程；②当切线l不过原点时，设切线l方程为x+y-a=0，同理由d=r列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出切线l的方程，综上，得到所有满足题意的切线l的方程；
（2）分两种情况考虑：①当直线m的斜率不存在时，显然经检验x=0满足题意；②当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y=kx，由弦长的一半及圆的半径，利用勾股定理求出圆心到直线m的距离d，再利用点到直线的距离公式表示出d，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出直线m的方程．

解答：解：由圆C的方程（x+1）²+（y-2）²=2，得到圆心C坐标为（-1，2），半径r=

2

，
（1）分两种情况考虑：
①若切线l过原点，设l方程为y=kx，即kx-y=0，
则由C（-1，2）到l的距离：d=

|-k-2|

k2+1

=

2

，得：k=2±

6

，
∴此时切线l的方程为：y=(2±

6

)x；…（2分）
②若切线l不过原点，设l方程为x+y-a=0，
则由C（-1，2）到l的距离：d=

|-1+2-a|

2

=

2

，
即1-a=2或1-a=-2，解得：a=3或a=-1，
此时切线l的方程为：x+y-3=0或x+y+1=0，
∴所求切线l的方程为：y=(2±

6

)x或x+y-3=0或x+y+1=0；…（6分）
（2）分两种情况考虑：
①当直线m的斜率不存在时，其方程为x=0，
m与圆C的交点为A（0，1），B（0，3）
满足|AB|=2，
∴x=0符合题意；…（8分）
②当直线m的斜率存在时，设m的方程为y=kx，即kx-y=0，
则圆心C到直线m的距离为d=

|-k-2|

k2+1

，又|AB|=2，r=

2

，
∴d=

r2-( |AB| 2 )2

=1，即1=

|-k-2|

k2+1

，
解得：k=-

3

4

，
∴此时m的方程为：3x+4y=0，
则所求m的方程为：x=0或3x+4y=0．…（12分）

点评：此题考查了圆的切线方程，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，以及勾股定理，利用了分类讨论的思想，要求学生考虑问题要全面，做到不重不漏．