Question

已知函数f（x）=ln（1+x）-x+x²（k≥0）。
（1）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）的单调区间。

Answer 1

解：（1）当k=2时，f（x）=ln（1+x）-x+x²，f'（x）=
由于f（1）=ln2，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为

即3x-2y+21n2-3=0；
（2），
当k=0时，
所以，在区间（-1，0）上，f'（x）>0；
在区间（0，+∞）上，f'（x）<0
故f（x）的单调递增区间是（-1，0），单调递减区间是（0，+∞）
当0＜k＜1时，由
得
所以，在区间（-1，0）和上，f'（x）>0；
在区间上，f'（x）<0
故f（x）的单调递增区间是（-1，0）和，单调递减区间是
当k=1时，
故f（x）的单调递增区间是（-1，+∞）
当k>1时，由
得
所以，在区间和（0，+∞）上，f'（x）>0
在区间上，f'（x）<0
故f（x）的单调递增区间是和（0，+∞）
单调递减区间是。